Classifying Riemann surfaces

Wednesday, October 21st, 2009 | Author:

In this post, I will sketch a classification of Riemann surfaces.

For those who haven't heard about the subject before, there is an introduction. For the impatient, look at the bottom of the post, where I have written a very short summary.

Table of contents:

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Lokale Normalform für holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen

Saturday, October 10th, 2009 | Author:

Hier ein sehr einfacher Beweis für eine nette Tatsache:

Theorem: Sei \phi : Y \rightarrow X eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen und y_0 \in Y sowie x_0 := \phi(y_0) gegeben. Dann gibt es Karten p_Y : U \rightarrow \mathbb{C} mit y_0 \in U und p_Y(y_0)=0 sowie p_X : V \rightarrow \mathbb{C} mit x_0\in V und p_X(x_0)=0 und \phi(U) \subseteq V sodass \phi lokal ausgedrückt (p_X \circ \phi \circ p_Y^{-1}) = (z\mapsto z^n) ist. Dieses n \in \mathbb{N} hängt nicht von der Wahl der Karten ab. Man definiert die Ordnung \text{ord}_{y_0}(\phi) := n.

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