Holomorphe Abbildungen sind manchmal schon Überlagerungen
Wednesday, October 14th, 2009 | Author: Konrad Voelkel
Gegeben eine holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen
, können wir uns fragen: Ist
eine Überlagerung? Unter welchen hinreichenden oder notwendigen Bedingungen?
Also zunächst mal die Definition von Überlagerung mit der ich hier arbeite:
Eine Abbildung zwischen (zusammenhängenden) topologischen Räumen heißt (holomorphe) unverzweigte Überlagerung, wenn sie ein lokaler Biholomorphismus ist und für jedes
eine Umgebung
existiert, sodass
aus der disjunkten Vereinigung von via
zu
biholomorphen Mengen besteht. Die Kardinalität von
heißt die Blätterzahl der Überlagerung. Klar: eine Überlagerung ist immer surjektiv und offen.
Man spricht von verzweigten Überlagerungen, wenn es Punkte gibt, die keine Umgebung haben, sodass für alle Komponenten
gilt
Biholomorphismus, sondern
lokal von der Form
mit
. An dieser Definition sieht man gleich, dass jede endliche holomorphe Abbildung eine (verzweigte) Überlagerung ist (siehe lokale Normalform).
Und was heißt nochmal endlich?
Eine Abbildung heißt endlich, wenn sie nur endliche Fasern hat, d.h. für jeden Punkt ist
eine endliche Menge (die Faser). Es gibt natürlich auch unendliche Überlagerungen, z.B.
(dabei ist
die obere Halbebene der komplexen Zahlebene).
Verzweigt und unverzweigt:
Wenn man nun eine endliche holomorphe Abbildung zwischen kompakten Riemannschen Flächen
hat, so ist dies eine verzweigte Überlagerung, deren Verzweigungspunkte in
definiert sind als die Punkte, an denen
lokal kein Biholomorphismus sondern eine Abbildung
mit
ist. Diese Menge der Verzweigungspunkte liegt diskret in
und damit, da
als kompakt vorausgesetzt wurde, endlich. Bezeichnen wir diese Menge mit
, dann erhalten wir eine Abbildung
. Diese Abbildung ist dann eine unverzweigte Überlagerung.
Was ist daran nun interessant?
Man kann die Theorie der Überlagerungen für die Funktionentheorie bzw. Riemannsche Flächen nutzen. Es stellt sich heraus, dass einige interessante funktionentheoretische Phänomene eigentlich topologischer Natur sind, d.h. z.B. nur vom (topologischen) Geschlecht der betrachteten Flächen abhängen.