Hier ein sehr einfacher Beweis für eine nette Tatsache:

Theorem: Sei $\phi : Y \rightarrow X$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen und $y_0 \in Y$ sowie $x_0 := \phi(y_0)$ gegeben. Dann gibt es Karten $p_Y : U \rightarrow \mathbb{C}$ mit $y_0 \in U$ und $p_Y(y_0)=0$ sowie $p_X : V \rightarrow \mathbb{C}$ mit $x_0\in V$ und $p_X(x_0)=0$ und $\phi(U) \subseteq V$ sodass $\phi$ lokal ausgedrückt $(p_X \circ \phi \circ p_Y^{-1}) = (z\mapsto z^n)$ ist. Dieses $n \in \mathbb{N}$ hängt nicht von der Wahl der Karten ab. Man definiert die Ordnung $\text{ord}_{y_0}(\phi) := n$.

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