Some nice introductory/expository papers

Thursday, October 29th, 2009 | Author:

On Math Overflow, someone asked for "A single paper everyone should read?"
and some answers were particularly nice to read for me, so I repeat it for you, ordered by how much math is needed (from none up to little):

  • Paul Lockhart: "A Mathematician's Lament" shares my opinion about the math eduction disaster in schools. I think you should read this if you disliked your math classes in school or if you will ever have children (who will have to take a math class, then).
  • Terry Tao: "What is good mathematics?" which is a short (10 pages) paper about the benefit we have from mathematicians different tastes and approaches. I recommend to every scientist reading the first 3 pages (the other 7 pages are only understandable with some background in mathematics).
  • Freeman Dyson: "Birds and Frogs" which is a must-read for anyone interested in history and/or progress of mathematics.
  • Misha Gromov: "Spaces and Questions" which is readable with almost no background, although might be funnier if you know basic differential geometry. It tells a dense story of geometric ideas and their development in history. And it doesn't take much time to read/skim it.
  • Timothy Chow: A beginner's guide to forcing is a really gentle introduction to forcing.

Math Overflow is a new community website where mathematicians can discuss research problems. It is based on Stack Exchange, the software powering Stack Overflow, which does the same for computer science.

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Classifying Riemann surfaces

Wednesday, October 21st, 2009 | Author:

In this post, I will sketch a classification of Riemann surfaces.

For those who haven't heard about the subject before, there is an introduction. For the impatient, look at the bottom of the post, where I have written a very short summary.

Table of contents:

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Walk-through to Morel-Voevodsky: A¹-homotopy theory of schemes (1999)

Tuesday, October 20th, 2009 | Author:

As I'm currently reading Morel&Voevodskys paper on A¹-homotopy theory of schemes, I will by and by write a little "walk-through" with hints & comments on how to find additional information to better (or even start to) understand the paper. Maybe for a newcomer to the subject (like me) it's difficult at first to stick together all these concepts like model theory, simplicial objects, Grothendieck topologies, algebraic geometry and so on. I will try to provide helpful comments to make the paper more accessible to those who are not that familiar with these notions above.

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Holomorphe Abbildungen sind manchmal schon Überlagerungen

Wednesday, October 14th, 2009 | Author:

Gegeben eine holomorphe Abbildung f : X \rightarrow Y zwischen Riemannschen Flächen X,\ Y, können wir uns fragen: Ist f eine Überlagerung? Unter welchen hinreichenden oder notwendigen Bedingungen?

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Lokale Normalform für holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen

Saturday, October 10th, 2009 | Author:

Hier ein sehr einfacher Beweis für eine nette Tatsache:

Theorem: Sei \phi : Y \rightarrow X eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen und y_0 \in Y sowie x_0 := \phi(y_0) gegeben. Dann gibt es Karten p_Y : U \rightarrow \mathbb{C} mit y_0 \in U und p_Y(y_0)=0 sowie p_X : V \rightarrow \mathbb{C} mit x_0\in V und p_X(x_0)=0 und \phi(U) \subseteq V sodass \phi lokal ausgedrückt (p_X \circ \phi \circ p_Y^{-1}) = (z\mapsto z^n) ist. Dieses n \in \mathbb{N} hängt nicht von der Wahl der Karten ab. Man definiert die Ordnung \text{ord}_{y_0}(\phi) := n.

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Mathe für Nichtmathematiker

Wednesday, July 29th, 2009 | Author:

Kürzlich habe ich mal versucht NichtmathematikerInnen zu erklären, was ich da eigentlich so mache (in meinem Mathematikstudium).

Da ich algebraische Geometrie benutze, wollte ich versuchen die Intuition zu vermitteln, was ein Schema ist oder wieso man in diese Richtung denkt. Das versuche ich jetzt also einmal in geschriebener Form:

Stell dir einen Kreis mit Radius r vor, also die Menge aller Punkte, die vom Mittelpunkt des Kreises genau den Abstand r haben. In der x,y-Ebene lässt sich ein Kreis, dessen Mittelpunkt der Ursprung 0 ist, leicht beschreiben, denn der Abstand vom Nullpunkt ist für einen Punkt (x,y) gegeben durch die Formel \sqrt{x^2+y^2}. Der Kreis wird dann beschrieben durch die Menge K = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ |\ \sqrt{x^2+y^2}=r\}, dabei bedeutet (x,y) \in \mathbb{R}^2 ganz einfach, dass (x,y) ein Punkt in der Ebene ist, dessen Koordinaten x und y reelle Zahlen sind, also z.B. 1,2,3, 4.5, 7.777777... oder auch \pi, \frac{12}{7} usw. Jetzt schreibe ich die Menge K noch ein kleines bisschen anders:
K = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x^2+y^2-r^2=0\}, man überzeuge sich davon, dass dies die selbe Menge von Punkten in der Ebene \mathbb{R}^2 ist.

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