Gegeben eine holomorphe Abbildung $f : X \rightarrow Y$ zwischen Riemannschen Flächen $X,\ Y$, können wir uns fragen: Ist $f$ eine Überlagerung? Unter welchen hinreichenden oder notwendigen Bedingungen?

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Hier ein sehr einfacher Beweis für eine nette Tatsache:

Theorem: Sei $\phi : Y \rightarrow X$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen und $y_0 \in Y$ sowie $x_0 := \phi(y_0)$ gegeben. Dann gibt es Karten $p_Y : U \rightarrow \mathbb{C}$ mit $y_0 \in U$ und $p_Y(y_0)=0$ sowie $p_X : V \rightarrow \mathbb{C}$ mit $x_0\in V$ und $p_X(x_0)=0$ und $\phi(U) \subseteq V$ sodass $\phi$ lokal ausgedrückt $(p_X \circ \phi \circ p_Y^{-1}) = (z\mapsto z^n)$ ist. Dieses $n \in \mathbb{N}$ hängt nicht von der Wahl der Karten ab. Man definiert die Ordnung $\text{ord}_{y_0}(\phi) := n$.

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Kürzlich habe ich mal versucht NichtmathematikerInnen zu erklären, was ich da eigentlich so mache (in meinem Mathematikstudium).

Da ich algebraische Geometrie benutze, wollte ich versuchen die Intuition zu vermitteln, was ein Schema ist oder wieso man in diese Richtung denkt. Das versuche ich jetzt also einmal in geschriebener Form:

Stell dir einen Kreis mit Radius $r$ vor, also die Menge aller Punkte, die vom Mittelpunkt des Kreises genau den Abstand $r$ haben. In der $x,y$-Ebene lässt sich ein Kreis, dessen Mittelpunkt der Ursprung $0$ ist, leicht beschreiben, denn der Abstand vom Nullpunkt ist für einen Punkt $(x,y)$ gegeben durch die Formel $\sqrt{x^2+y^2}$. Der Kreis wird dann beschrieben durch die Menge $K = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ |\ \sqrt{x^2+y^2}=r\}$, dabei bedeutet $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ ganz einfach, dass $(x,y)$ ein Punkt in der Ebene ist, dessen Koordinaten $x$ und $y$ reelle Zahlen sind, also z.B. $1,2,3, 4.5, 7.777777...$ oder auch $\pi, \frac{12}{7}$ usw. Jetzt schreibe ich die Menge $K$ noch ein kleines bisschen anders:
$K = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x^2+y^2-r^2=0\}$, man überzeuge sich davon, dass dies die selbe Menge von Punkten in der Ebene $\mathbb{R}^2$ ist.

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Was ich über Schlaf mal gelesen habe:
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Wer länger jongliert, Tricks lernt und/oder mathematisch interessiert ist, für den stellt sich irgendwann die Frage nach einer Notation für Jongliermuster - so ähnlich wie Noten für Musik benötigt man ja eine Möglichkeit, eindeutig zu kommunizieren, über welches Muster man spricht, ohne dass man diesen vorführt (da sieht man oft genug nämlich nicht so viel und man möchte ja auch über Tricks sprechen, die man noch nicht beherrscht).

Dafür gibt es Siteswaps.
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Vor kurzem habe ich einige nützliche LaTeX-Packages entdeckt, dir mir geholfen haben, meine Notizen aufzuschreiben und nützlich zu formatieren:
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