Diploma thesis (in german)

Tuesday, August 09th, 2011 | Author:

Now this is a slightly corrected (although still somewhat messy) version of my diploma thesis - in german:
Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie.

You can read something about the content in this blog post, containing an extended abstract in english.

For the german-speaking mathematicians, here is some abstract:

Matrizengruppen über den reellen oder komplexen Zahlen sind topologische Gruppen und ihre Fundamentalgruppen sind interessante Invarianten. Während die Fundamentalgruppe über stetige Schleifen am Basispunkt und Homotopien definiert ist, können wir uns fragen, welche Gruppe man erhält, wenn man nur polynomiale Schleifen am Basispunkt und polynomiale Homotopien zulässt. Während die Fundamentalgruppe eine Klassifikation der Überlagerungen erlaubt, so erhalten wir durch die “polynomiale Fundamentalgruppe” eine Klassifikation der zentralen Gruppenerweiterungen - ein homologietheoretisches Analogon von Überlagerungen.

Für eine Überlagerung X → X mit Faser F über dem Basispunkt und punktiertem Schleifenraum ΩX gibt es eine Liftungsabbildung L : ΩX → F, die im Fall einer topologischen Gruppe X = G ein Gruppenhomomorphismus ist. Ist X die universelle Überlagerung, so liefert L unter π_0 einen Isomorphismus π_1(X,∗) → F.
Jede Überlagerung topologischer Gruppen ist auch eine zentrale Erweiterung - jedoch nicht umgekehrt. Die zentralen Erweiterungen einer perfekten Gruppe G werden klassifiziert durch den Schur-Multiplikator H_2(G,Z); das ist der Kern der universellen zentralen Erweiterung. Wir betrachten den Fall X = G(k), wobei G(k) die k-rationalen Punkte einer einfach zusammenhängenden Chevalley-Gruppe G mit Wurzelsystem Φ für einen unendlichen Körper k ist. Dann ist der Schur-Multiplikator H_2(G(k),Z) =: K_2(Φ,k), die zweite instabile K-Theorie bezüglich Φ und die universelle zentrale Erweiterung ist die Steinberg-Gruppe St(Φ, k).

Wir definieren eine simpliziale Gruppe SingG(k), deren n-Simplizes genau die Matrizen aus G(k[t1,...,tn]) sind und zeigen, dass ihre simpliziale Fundamentalgruppe genau die instabile K-Theorie ist, indem wir (unter einer gewissen Regularitätsvoraussetzung an K_2(Φ,k)) die simpliziale Überlagerung
K_2(Φ,k) → SingSt(Φ,k) → SingG(k)
und ihren Liftungshomomorphismus L studieren. Wir geben eine explizite Umkehrabbildung zu L an und können somit alle Schleifen in SingG(k) bis auf Homotopie explizit beschreiben.
Die genannte Regularitätsvoraussetzung ist Homotopieinvarianz von K_2(Φ,·) in einer Variablen über einem Körper k, d.h. K_2(Φ,k[t])=K_2(Φ,k).
Für Φ = A_n mit n ≥ 3 ist die Aussage bereits durch Sätze von Quillen und van der Kallen bekannt. Für rk Φ ≥ 3 ist dies eine Vermutung von Wendt.
Wir arbeiten mit der Steinberg-Präsentation der universellen zentralen Erweiterung St(Φ,k) von G(k) und mit der Matsumoto-Präsentation ihres Kerns, der instabilen zweiten K-Theorie von k:
K_2(Φ,k)=KSp(k), falls Φ symplektisch, K_2(Φ,k)=KM(k) (Milnor-K-Theorie) sonst.

Matsumotos Beweis dieser Präsentation wird in dieser Arbeit ausführlich nachgerechnet. Die Ergebnisse über die Fundamentalgruppe von SingG(k) liefern eine Verallgemeinerung eines Satzes von Jardine auf instabile K-Theorie und unendliche Körper, die nicht notwendig algebraisch abgeschlossen sind:
π_1(SingG(k))=K_2(Φ,k).

Unter Verwendung von Resultaten von Morel und Wendt
π_1^A¹(G)(k)=π_1(SingG(k))
erhalten wir schließlich eine Aussage über π_1^A¹, die motivische Fundamentalgruppe im Sinne von Morel und Voevodsky.
Damit ist die ursprüngliche Fragestellung der Arbeit beantwortet:
“Wie sehen die Schleifen in der A¹-Homotopietheorie von G(k) aus?”.

...und weil beim herauskopieren des Abstracts aus der PDF-Datei bestimmt das ein oder andere schief gegangen ist, sollte man lieber gleich das PDF lesen, wenn man denn überhaupt etwas lesen möchte.


Category: English, German, Mathematics

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